试题

题目：
青果学院如图所示，∠AOB=90°，O为
AB
的中点，且C、D是
BA
的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F．
求证：AE=BF=CD．
答案
青果学院证明：∵O为
AB
的中点，
∴OA=OB，
∴点O为
AB
所在圆的圆心，
连接AC、BD，则有AC=CD=BD，
∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，
∴△ACO≌△DCO．
∴∠ACO=∠OCD．
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD=
180°-30°
2
=75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠OCD，
∴∠ACO=∠AEC．
故AC=AE，
同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD
∴AE=CD=BF．
青果学院证明：∵O为
AB
的中点，
∴OA=OB，
∴点O为
AB
所在圆的圆心，
连接AC、BD，则有AC=CD=BD，
∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，
∴△ACO≌△DCO．
∴∠ACO=∠OCD．
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD=
180°-30°
2
=75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠OCD，
∴∠ACO=∠AEC．
故AC=AE，
同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD
∴AE=CD=BF．
考点梳理
圆周角定理；全等三角形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系．
由于C、D是弧AB的三等分点，易得∠AOC=∠DOB，又OA=OB=OC，易证得△AOC≌△OCD，可得∠ACO=∠OCD，易知∠AEC=∠OCD，因此∠ACO=∠AEC，即AC=AE=BF．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识的综合应用能力．
证明题．
找相似题