试题

题目：
已知x=
n+1
-
n
n+1
+
n
，y=
n+1
+
n
n+1
-
n
（n为自然数），问：是否存在自然数n，使代数式19x2+36xy+19y2的值为1 998？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．
答案
解：不存在．
∵x+y=
n+1
-
n
n+1
+
n
+
n+1
+
n
n+1
-
n
=(
n+1
-
n
)2+(
n+1
+
n
)2
=n+1-2
n(n+1)
+n+n+1+n+2
n(n+1)
=4n+2．
xy=
n+1
-
n
n+1
+
n
·
n+1
+
n
n+1-
n
=1．
假设存在n使代数式19x2+36xy+19y2的值为1998．
即19x2+36xy+19y2=1998．
19x2+19y2=1962，（x2+y2）=
1 962
19
．
（x+y）2=
1 962
19
+
38
19
=
2 000
19
.   x+y=
2 000
19
=
20
95
19
．
由已知条件，得x+y=2（2n+1）．
∵n为自然数，∴2（2n+1）为偶数，
∴x+y=
20
95
19
不为整数．
∴不存在这样的自然数n．
解：不存在．
∵x+y=
n+1
-
n
n+1
+
n
+
n+1
+
n
n+1
-
n
=(
n+1
-
n
)2+(
n+1
+
n
)2
=n+1-2
n(n+1)
+n+n+1+n+2
n(n+1)
=4n+2．
xy=
n+1
-
n
n+1
+
n
·
n+1
+
n
n+1-
n
=1．
假设存在n使代数式19x2+36xy+19y2的值为1998．
即19x2+36xy+19y2=1998．
19x2+19y2=1962，（x2+y2）=
1 962
19
．
（x+y）2=
1 962
19
+
38
19
=
2 000
19
.   x+y=
2 000
19
=
20
95
19
．
由已知条件，得x+y=2（2n+1）．
∵n为自然数，∴2（2n+1）为偶数，
∴x+y=
20
95
19
不为整数．
∴不存在这样的自然数n．
考点梳理
二次根式的化简求值．
假设存在，将已知条件化简，求出x+y=2（2n+1），xy=1，代入19x2+36xy+19y2=1998中看是否有符合条件的2n．
此题采用的是反证法：先假设成立，再推翻假设，得出不成立．
开放型．
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