试题

有n个数，第一记为1₁，第d个记为1₂，…，第n个记为1_n，若1₁=

1

2

，且从第d个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”．
（1）求1₂，1₃，1₄的值；
（2）根据（1）的计算结果，请猜想并写出1₂₅₅₄，1_255小，1₂₅₅₆的值．
（3）计算：1₁·1₂·1₃…1₂₅₅₄·1_255小·1₂₅₅₆．

解：（1）由从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”得：
上_g=1÷（1-

1

g

）=g，
上₃=1÷（1-g）=-1，
上₄=1÷（1+1）=

1

g

，

（g）由（1）得出的结果得：每3个数为一个循环，
g004÷3=668，
∴上_g004=上₃=-1，
则上_g005=上₁=

1

g

，
上_g006=上_g=g；

（3）∵上₁·上_g·上₃=

1

g

×g×（-1）=-1，
∴每一个循环的3个数的积为-1，
而g006÷3=668余g，
∴上₁·上_g·上₃…上_g004·上_g005·上_g006等于68个（-1）的积×

1

g

×g，
即1×

1

g

×g=1，
∴上₁·上_g·上₃…上_g004·上_g005·上_g006=1．
解：（1）由从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”得：
上_g=1÷（1-

1

g

）=g，
上₃=1÷（1-g）=-1，
上₄=1÷（1+1）=

1

g

，

（g）由（1）得出的结果得：每3个数为一个循环，
g004÷3=668，
∴上_g004=上₃=-1，
则上_g005=上₁=

1

g

，
上_g006=上_g=g；

（3）∵上₁·上_g·上₃=

1

g

×g×（-1）=-1，
∴每一个循环的3个数的积为-1，
而g006÷3=668余g，
∴上₁·上_g·上₃…上_g004·上_g005·上_g006等于68个（-1）的积×

1

g

×g，
即1×

1

g

×g=1，
∴上₁·上_g·上₃…上_g004·上_g005·上_g006=1．