试题

题目：
（2012·海港区模拟）观察下列计算：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
4×5
=
1
4
-
1
5
…从计算结果中找规律，利用规律计算
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…
1
2010×2011
=
2010
2011
2010
2011
．
答案
2010
2011

解：根据
1
1×2
=1-
1
2
；
1
2×3
=
1
2
-
1
3
；
1
3×4
=
1
3
-
1
4
；
1
4×5
=
1
4
-
1
5
；
…
可得：
1
2009×2010
=
1
2009
-
1
2010
，
1
2010×2011
=
1
2010
-
1
2011
，
∴
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
…+
1
2009×2010
+
1
2010×2011

=（1-
1
2
）+（
1
2
-
1
3
）+（
1
3
-
1
4
）+（
1
4
-
1
5
）+…+（
1
2009
-
1
2010
）+（
1
2010
-
1
2011
）
=1-
1
2011

=
2010
2011
．
考点梳理
规律型：数字的变化类．
观察得到规律：相邻的两个正整数的积的倒数等于相邻的两个正整数的倒数之差，故
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2010×2011
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2010
-
1
2011
，从中可发现抵消的规律，从而正确进行计算．
此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
压轴题．
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