试题

题目：
观察下面一列有规律的数：
1
2
，
1
6
，
1
12
，
1
20
，
1
30
，
1
42
…
根据规律解答下列各题：
（1）第七个数是什么？
（2）第几个数是
1
132
？
（3）第n个数是什么？
（4）计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2009×2010
+
1
2010×2011
．
答案
解：（1）∵
1
2
，
1
6
，
1
12
，
1
20
，
1
30
，
1
42
…
∴
1
2
=
1
1×2
，
1
6
=
1
2×3
，
1
12
=
1
3×4
，
1
20
=
1
4×5
，
故第七个数是：
1
7×8
=
1
56
；

（2）设第x个数是
1
132
，
则
1
x(x+1)
=
1
132
，
解得：x=12，
故第12个数是
1
132
；

（3）由（1）得出第n个数是：
1
n(n+1)
；

（4）
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2009×2010
+
1
2010×2011

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2009
-
1
2010
+
1
2010
-
1
2011

=1-
1
2011

=
2010
2011
．
解：（1）∵
1
2
，
1
6
，
1
12
，
1
20
，
1
30
，
1
42
…
∴
1
2
=
1
1×2
，
1
6
=
1
2×3
，
1
12
=
1
3×4
，
1
20
=
1
4×5
，
故第七个数是：
1
7×8
=
1
56
；

（2）设第x个数是
1
132
，
则
1
x(x+1)
=
1
132
，
解得：x=12，
故第12个数是
1
132
；

（3）由（1）得出第n个数是：
1
n(n+1)
；

（4）
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2009×2010
+
1
2010×2011

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2009
-
1
2010
+
1
2010
-
1
2011

=1-
1
2011

=
2010
2011
．
考点梳理
规律型：数字的变化类．
（1）根据分母的变化得出1×2=2，2×3=6，3×4=12，4×5=20…进而得出分母变化规律得出即可；
（2）设第x个数是
1
132
，再利用（1）中变化规律求出即可；
（3）利用（1）中变化规律得出通项公式即可；
（4）根据
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
…进而求出即可．
本题主要考查了数字规律型，发现数字变化的规律进而得出通项公式是解题关键．
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