试题

探索规律：观察下面的算式，解答问题：
1+3=4=2²，1+3+5=9=3²，1+3+5+7=16=4²，1+3+5+7+9=25=5²
（1）请猜想1+3+5+7+9+…+19=；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）=；
（3）请用上述规律计算：103+105+107+…+2003+2005．

解：（1）由图片知：
第1个图案所代表的算式为：1=1²；
第2个图案所代表的算式为：1+3=4=2²；
第3个图案所代表的算式为：1+3+5=9=3²；
…
依此类推：第n个图案所代表的算式为：1+3+5+…+（2n-1）=n²；
故当2n-1=19，
即n=10时，1+3+5+…+19=10²．

（2）由（1）可知：1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3），
=1+3+5+7+9+…+（2n-1）+[2（n+1）-1]+[2（n+2）-1]，
=（n+2）²．

（3）103+105+107+…+2003+2005，
=（1+3+…+2003+2005）-（1+3+…+99+101），
=1003²-51²
=1006009-2601，
=1003408．