试题

题目：
设S1=1+
1
12
+
1
22
，S2=1+
1
22
+
1
32
，S3=1+
1
32
+
1
42
，…，Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
，设S=
S1
+
S2
+…+
Sn
，则S等于多少？（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
解题方案：
第一步 特殊化 即先计算特殊值
S1
=
S2
=
S3
=
S4
=
第二步 猜想  
Sn
=
第三步 证明（第二步的猜想）
第四步 计算S．
答案
解：
S1
=
1+1+
1
4
=
3
2
，
S2
=
1+
1
4
+
1
9
=
7
6
，
S3
=
1+
1
9
+
1
16
=
13
12
，
S4
=
1+
1
16
+
1
25
=
21
20
，…，
猜想：
Sn
=1+
1
n
-
1
n+1
，
∴S=
S1
+
S2
+…+
Sn

=1+1-
1
2
+1+
1
2
-
1
3
+…+1+
1
n
-
1
n+1

=n+1-
1
n+1

=
n2+2n
n+1
．
解：
S1
=
1+1+
1
4
=
3
2
，
S2
=
1+
1
4
+
1
9
=
7
6
，
S3
=
1+
1
9
+
1
16
=
13
12
，
S4
=
1+
1
16
+
1
25
=
21
20
，…，
猜想：
Sn
=1+
1
n
-
1
n+1
，
∴S=
S1
+
S2
+…+
Sn

=1+1-
1
2
+1+
1
2
-
1
3
+…+1+
1
n
-
1
n+1

=n+1-
1
n+1

=
n2+2n
n+1
．
考点梳理
规律型：数字的变化类．
观察第一步的几个计算结果，得出一般规律．
本题考查了数字算式的变化规律．关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律．
规律型．
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