试题

题目：
（观察下列等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，以上三个等式两边分别相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4
．
（1）猜想并写出：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
49×50
=
49
50
49
50
；
（3）计算：
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
2007×2009
．
答案
1
n
-
1
n+1

49
50

解：（1）
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
；
故答案为
1
n
-
1
n+1
；

（2）原式=1-
1
50
=
49
50
；
故答案为
49
50
；

（3）原式=（1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2007
-
1
2009
）×
1
2

=（1-
1
2009
）×
1
2
=
2008
2009
×
1
2

=
1004
2009
．
考点梳理
规律型：数字的变化类．
（1）分子为1，分母为相邻2个数的积，结果等于分子为1，分母分别为2个因数的分数的差；
（2）化简后，只剩首尾两个数，相减即可；
（3）分子为1，分母为相差2的2个数的积，结果等于分子为1，分母分别为2个因数的分数的差，再乘以
1
2
，进而按照（2）得到的规律，计算即可；
考查数字的变化规律；得到分子为1，分母为等差数列的几个分数的和的计算方法是解决本题的关键．
规律型．
找相似题