试题

题目：
如图，把一个正三角形的每一边三等分，取中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，重复上述两步，画出更小的正三角形；一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做“科镂曲线”，又称为“雪花曲线”．已知图①中正三角形的周长为C1=3，图②中图形的周长C2=4，按此规律下去，第5个图形的周长C5=
256
27
256
27
．
青果学院
答案
256
27

解：图①中正三角形的周长为C1=3，
图②中图形的周长C2=3+
1
3
×3=3+1=4，
图③中正三角形的周长为C3=4+
1
3
×
1
3
×3×4=
16
3
，
图④中图形的周长C4=
16
3
+
1
3
×
1
3
×
1
3
×3×4×4=
64
9
，
图⑤中图形的周长C5=
64
9
+
1
3
×
1
3
×
1
3
×
1
3
×3×4×4×4=
256
27
．
故答案为
256
27
．
考点梳理
规律型：图形的变化类．
由于图①中正三角形的周长为C1=3，观察图形得到图②在图①的基础上每边多了边长的
1
3
，则图②中的图形的周长C2=3+
1
3
×3=3+1=4，图③在图②的基础上每边多了边长的
1
9
，得到图③中正三角形的周长为C3=4+
1
3
×
1
3
×3×4=
16
3
，于是得到图④中图形的周长C4=
16
3
+
1
3
×
1
3
×
1
3
×3×4×4，图⑤中图形的周长C5=
64
9
+
1
3
×
1
3
×
1
3
×
1
3
×3×4×4×4．
本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
压轴题；规律型．
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