试题

观察下列图形：

根据图形及相应圆点个数的变化规律，求第n（n为正整数）个图形中有个圆点．

解：第1个图形有1个点，S₁=1，
第2个图形有3个点，S₂-S₁=3-1=2×1，
第3个图形有7个点，S₃-S₂=7-3=4=2×2，
第4个图形有13个点，S₄-S₃=13-7=6=2×3，
第5个图形有21个点，S₅-S₄=21-13=8=2×4，
…，
依此类推，第n个图形的点数为S_n，则S_n-S_n-1=2（n-1），
所以，S₁+S₂-S₁+S₃-S₂+S₄-S₃+S₅-S₄+…+S_n-S_n-1=1+2×1+2×2+2×3+2×4+…+2（n-1），
所以，S_n=1+2[1+2+3+4+…+（n-1）]=1+2×

(1+n-1)(n-1)

2

=n²-n+1，
即第n个图形圆点的个数为：n²-n+1．
故答案为：n²-n+1．