试题

如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．
（1）根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是，第n个正方形内圆的个数是．
（2）如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影．
①用含a的代数式分别表示第1个正方形中和第3个正方形中阴影部分的面积．（结果保留π）
②若a=10，请直接写出第2014个正方形中阴影部分的面积．（结果保留π）

解：（1）图形①圆的个数是1，
图形②圆的个数是4，
图形③圆的个数是9，
图形④圆的个数是16，
…；
第n个正方形中圆的个数为n²个；

（2）①第一个S_阴影=a²-π·（

a

2

）²=

4-π

4

a²；
第二个S_阴影=a²-4·π·（

a

4

）²=

4-π

4

a²；
第三个S_阴影=a²-9·π·（

a

6

）²=

4-π

4

a²；
②从以上计算看出三个图形中阴影部分的面积均相等，与圆的个数无关．
第n图形中阴影部分的面积是S阴影=a²-n·π·（

a

2n

）²=

4-π

4

a²；
当a=10，第2014个阴影部分的面积为

4-π

4

×10²=100-25π．