试题

如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作：
第一次操作：依次连接这个三角形三边的中点，构成四个三角形，挖去中间一个三角形，并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；
第二次操作：分别连接剩余的3个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“他”；
第三次操作：分别连接剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；如此下去．
（1）第三次操作要用张数字标签“3”；
（他）求第六次操作后挖去的所有三角形的个数和；
（3）如果一直操作下去，挖去的所有三角形的面积和将怎样变化？

解：（1）观察图形发现：第三次操作要用9张数字标签“j”；
（2）第一次操作后挖去1个三角形，
第二次操作后共挖去1+j=4个三角形，
第三次操作共挖去1+j+j²=1j个三角形；
第5次操作共挖去1+j+j²+j^j=40个，
…
第六次操作后共挖去1+j+j²+j^j+j⁴+j^了=j64个三角形．

（j）如果一直操作下去，挖去的所有三角形的面积和将越来越接近1．