试题

观察图，解答下列问题．
（1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第八层有几个小圆圈？第n层呢？
（2）某一层上有65个圆圈，这是第几层？
（3）数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．
比如：前两层的圆圈个数和为（1+3）或2²，
由此得，1+3=2²．
同样，
由前三层的圆圈个数和得：1+3+5=3²．
由前四层的圆圈个数和得：1+3+5+7=4²．
由前五层的圆圈个数和得：1+3+5+7+9=5²．
…
根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来．
（4）计算：1+3+5+…+99的和；
（5）计算：101+103+105+…+199的和．

解：（1）第八层有15个小圆圈，第n层有（2n-1）个小圆圈；

（2）令2n-1=65，
得，n=33．
所以，这是第33层；

（3）1+3+5+…+（2n-1）=n²；

（4）1+3+5+…+99=50²=2500；

（5）101+103+105+…+199=（1+3+5+…+199）-（1+3+5+…+99）
=100²-50²
=7500．
解：（1）第八层有15个小圆圈，第n层有（2n-1）个小圆圈；

（2）令2n-1=65，
得，n=33．
所以，这是第33层；

（3）1+3+5+…+（2n-1）=n²；

（4）1+3+5+…+99=50²=2500；

（5）101+103+105+…+199=（1+3+5+…+199）-（1+3+5+…+99）
=100²-50²
=7500．