试题

“数缺形时少直观，形少数时难入微”，小明在探究

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

+

1

2n

结果时，发现可利用图形的知识来解决问题．他是这样规定的：在图1中，若线段AB的长为1，C₁为AB的中点，C₂为C₁B的中点，C₃ 为C₂B的中点，…，C_n为C_n-1B的中点．
（1）则可以得出线段C₁B=，C₁C₂=，ACn=；
（2）从而发现了

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

+

1

2n

=；
（3）小明学习上爱动脑，经过认真思考和分析后，发现在计算

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

时，也可以利用构造一个图形，通过面积来计算．他构造图形是：如图2，正△ABC面积为1，分别取AC、BC两边的中点A₁、B₁，再分别取A₁C、B₁C的中点A₂、B₂，依次取下去…，能直观地计算出结果．请你根据这个图形说明小明的结果：

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

=．
请你对小明的发现，试给出必要的说理．

解：（1）∵AB=1，C₁为AB的中点，
∴C₁B=

1

2

AB=

1

2

，
∵C₂为C₁B的中点，
∴C₁C₂=

1

2

C₁B=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
以此类推，每取一次中点，线段的长度变为前一次的

1

2

，
∴C_n-1C_n=C_nB=（

1

2

）ⁿ=

1

2n

，
∴AC_n=AC-C_nB=1-

1

2n

；

（2）结合图形，

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

+

1

2n

=AC₁+C₁C₂+…+C_nB=AC_n，
∴

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

+

1

2n

=1-

1

2n

；

（3）∵正△ABC面积为1，A₁、B₁分别为AC、BC两边的中点，
∴S_△A1B1C=

1

4

S_△ABC=

1

4

，
∴S_{四边形ABB1A1}=3S_△A1B1C=3×

1

4

，
同理S_△A2B2C=

1

4

S_△A1B1C=

1

4

×

1

4

=

1

42

，
∴S_{四边形A1B1B2A2}=3S_△A2B2C=3×

1

42

，
…
以此类推S_{四边形An-1Bn-1BnAn}=3S_△AnBnC=3×

1

4n

，
S_△AnBnC=

1

4n

，
∵S_△ABC=S_{四边形ABB1A1}+S_{四边形A1B1B2A2}+…+S_{四边形An-1Bn-1BnAn}+S_△AnBnC=1，
即3×

1

4

+3×

1

42

+…+3×

1

4n

+

1

4n

=1，
∴

1

4

+

1

42

+…+

1

4n

=

1- 1 4n

3

．
故答案为：（1）

1

2

，

1

4

，1-

1

2n

；（2）1；（3）

1- 1 4n

3

．