如图，按一定的规律用牙签搭图形：（1）按如图所示的规律填表：图形标号①②③④…牙签根数…（2）搭第10个图形需要根牙签．（3）搭第n个图形需要根牙签．（4）如果现有2011颗牙签，...-青果题库-青果学院

题目：

如图，按一定的规律用牙签搭图形：
青果学院

（1）按如图所示的规律填表：

图形标号	①	②	③	④	…
牙签根数					…

（2）搭第10个图形需要

155

根牙签．
（3）搭第n个图形需要

3n2+n

2

3n2+n

2

根牙签．
（4）如果现有2011颗牙签，那么他按照这种规律从①个图案摆放下去，是否可以摆放成完整的图案后刚好2011颗牙签一颗不剩？如果可以，那么刚好摆放完成几个完整的图案？如果不行，那么最多可以摆放多少个完整图案，还剩余几颗牙签？（只答结果，不说明理由）

答案

155

3n2+n

2

解：（1）如表，

图形标号	①	②	③	④	…
牙签根数	2	7	15	26	…

（2）第10个图形需

3n2+n

2

=

3×102+10

2

=155个；
（3）第n个图形需要（1+2+3+…+n）×3-n=

n(3n+1)

2

；
（4）由题意得

1

2

n（n+1）²=2011，
可知n³＜n（n+1）²=4022＜（n+1）³，
15≤n＜16，
当n=15时，得

1

2

n（n+1）²=1920，
2011-1920=91（颗），
由以上可知，不可以摆放成完整的图案后刚好2011颗牙签一颗不剩，
当摆放完成15个完整图案，还剩下91颗牙签．

考点梳理

规律型：图形的变化类．

试题