试题

如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：8=3²-1²，16=5²-3²，24=7²-5²；则8、16、24这三个数都是奇特数．
（1）32和2012这两个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式．
（2）设两个连续奇数是2n-1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？
（3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为2013，求阴影部分的面积．

解：（1）32这个数是奇特数．因为32=9²-7²，
∵8、16、24这三个数都是奇特数，他们都是8的倍数，2012不是8的倍数，
∴2012这个数不是奇特数．

（2）两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．理由如下：
（2n+1）²-（2n-1）²=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n×2=8n．

（3）阴影部分面积为：
2013²-2011²+2009^2-2007²+…+3²-1²
=（2013+2011）×（2013-2011）+（2009+2007）×（2009-2007）+…+（3+1）×（3-1）
=2×（2013+2011+2009+2007+…+3+1）
=2×1014049
=2028098．
解：（1）32这个数是奇特数．因为32=9²-7²，
∵8、16、24这三个数都是奇特数，他们都是8的倍数，2012不是8的倍数，
∴2012这个数不是奇特数．

（2）两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．理由如下：
（2n+1）²-（2n-1）²=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n×2=8n．

（3）阴影部分面积为：
2013²-2011²+2009^2-2007²+…+3²-1²
=（2013+2011）×（2013-2011）+（2009+2007）×（2009-2007）+…+（3+1）×（3-1）
=2×（2013+2011+2009+2007+…+3+1）
=2×1014049
=2028098．