试题

题目：
把一个多边形沿着几条直线剪开，分割成若干个多边形．分割后的多边形的边数总和比原多边形的边数多13条，内角和是原多边形内角和的1.3倍．求：
（1）原来的多边形是几边形？
（2）把原来的多边形分割成了多少个多边形？
答案
解：设原多边形的边数是n，分割成边数为a1，a2，…，am的m个多边形，则m个多边形的总边数为a1+a2+…+am，由题意有
a1+a2+…+am=n+13，
180（a1-2）+180（a2-2）+…+180（am-2）=1.3×180（n-2），
则3n+20m=156，
解得：m=6，n=12．
故原来的多边形是12边形，把原来的多边形分割成了6个小多边形．
解：设原多边形的边数是n，分割成边数为a1，a2，…，am的m个多边形，则m个多边形的总边数为a1+a2+…+am，由题意有
a1+a2+…+am=n+13，
180（a1-2）+180（a2-2）+…+180（am-2）=1.3×180（n-2），
则3n+20m=156，
解得：m=6，n=12．
故原来的多边形是12边形，把原来的多边形分割成了6个小多边形．
考点梳理
多边形；规律型：图形的变化类．
把多边形沿直线剪开，每增加一个多边形，边数的增加会出现以下三种情况：①当直线经过两个顶点时，增加两条边；②当直线经过一个顶点时，增加三条边；③当直线不经过顶点时，增加四条边．于是，当将原多边形分割成4个小多边形，最多可以增加4×3=12条边，当将原多边形分割成8个小多边形，最少可以增加2×7=14条边．所以分割后的多边形的个数是5，6，7中的一个．设原多边形的边数是n，分割成边数为a1，a2，…，am的m个多边形，则m个多边形的总边数为a1+a2+…+am由题意，可得方程a1+a2+…+am=n+13，
180（a1-2）+180（a2-2）+…+180（am-2）=1.3×180（n-2），再整理可得3n+20m=156，再讨论出二元一次方程的整数解即可．
此题主要考查了多边形，关键是掌握多边形内角和公式180°（n-2）．
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