试题

题目：
如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为
1
2
的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3，P4，…，Pn，…记纸板Pn的面积为Sn，试计算求出S2=
3
8
π
3
8
π
；S3=
11
32
π
11
32
π
；并猜想得到Sn-Sn-1（n≥2）．
青果学院
答案
3
8
π

11
32
π

解：S2=
1
2
π-
1
2
π×
1
2
=
3
8
π，
S3=
1
2
π-
1
2
π×（
1
2
）2-
1
2
π×[（
1
2
）2]2=
11
32
π；
Sn-1=
1
2
π-
1
2
π×（
1
2
）2-
1
2
π[（
1
2
）2]2-…-
1
2
π×[（
1
2
）n-2]2，
Sn=
1
2
π-
1
2
π×（
1
2
）2-
1
2
π[（
1
2
）2]2-…-
1
2
π×[（
1
2
）n-2]2-
1
2
π[（
1
2
）n-1]2，
∴Sn-Sn-1=
1
2
π×[（
1
2
）n-2]2=（
1
2
）2n-1π．
故答案为：
3
8
π，
11
32
π．
考点梳理
规律型：图形的变化类．
由P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为
1
2
的半圆后得到图形P2，得到S1=
1
2
π×12=
1
2
π，S2=
1
2
π-
1
2
π×（
1
2
）2．同理可得Sn-1=
1
2
π-
1
2
π×（
1
2
）2-
1
2
π×[（
1
2
）2]2-…-
1
2
π×[（
1
2
）n-2]2，Sn=
1
2
π-
1
2
π×（
1
2
）2-
1
2
π×[（
1
2
）2]2-…-
1
2
π×[（
1
2
）n-2]2-
1
2
π×[（
1
2
）n-1]2，它们的差即可得到．
本题考查了圆的面积公式：S=πR2，及规律性题目的解题一般方法：从特殊到一般，找出规律是解答的基础．
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