试题

如图，在某海域内有三个港口A、D、C．港口C在港口A北偏东60°方向上，港口D在港口A北偏西60°方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30°的方向驶离A港口3小时后到达B点位置处，测得港口C在B处的南偏东75°方向上，此时发现船舱漏水，应立即向最近的港口停靠．
（1）试判断此时哪个港口离B处最近，说明理由，并求出最近距离．
（2）若海水以每小时48吨的速度渗入船内，当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？

解：（1）连接AC、AD、BC、BD，过B作BP⊥AC于点P．
由已知得∠BAD=90°，∠BAC=30°，AB=3×25=75（海里），
从而BP=

1

2

×75=37.5（海里）．
∵港口C在B处的南偏东75°方向上，
∴∠CBP=45°．在等腰Rt△CBP中，BC=

2

BP=

75 2

2

（海里），
∴BC＜AB．
∵△BAD是Rt△，
∴BD＞AB．
综上，可得港口C离B点位置最近，为

75 2

2

海里．

（2）设由B驶向港口C船的速度为每小时x海里，
则据题意有

37.5 2

x

(48-8)≤75，
解不等式，得x≥20

2

（海里）．
答：此船应以速度至少不低于每小时20

2

海里，才能保证船在抵达港口前不会沉没．
解：（1）连接AC、AD、BC、BD，过B作BP⊥AC于点P．
由已知得∠BAD=90°，∠BAC=30°，AB=3×25=75（海里），
从而BP=

1

2

×75=37.5（海里）．
∵港口C在B处的南偏东75°方向上，
∴∠CBP=45°．在等腰Rt△CBP中，BC=

2

BP=

75 2

2

（海里），
∴BC＜AB．
∵△BAD是Rt△，
∴BD＞AB．
综上，可得港口C离B点位置最近，为

75 2

2

海里．

（2）设由B驶向港口C船的速度为每小时x海里，
则据题意有

37.5 2

x

(48-8)≤75，
解不等式，得x≥20

2

（海里）．
答：此船应以速度至少不低于每小时20

2

海里，才能保证船在抵达港口前不会沉没．