试题

观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则sinB=

AD

c

，sinC=

AD

b

，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即

b

sinB

=

c

sinC

，同理有：

c

sinC

=

a

sinA

，

a

sinA

=

b

sinB

，
所以

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

．
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．
根据上述材料，完成下列各题．

（1）如图（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，则∠A=；AC=；
（2）自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻．某次巡逻中，如图（3），我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB．（结果精确到0.01，

6

≈2.449）

解：（1）由正玄定理得：∠A=60°，AC=20

6

；             
故答案为：60°，20

6

；            
（2）如图，依题意：BC=40×0.5=20（海里）
∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE=180°．
∵∠DCB=30°，∴∠CBE=150°．
∵∠ABE=75°，∴∠ABC=75°．
∴∠A=45°．                                      
在△ABC中，

AB

sin∠ACB

=

BC

sin∠A

，
即

AB

sin60°

=

20

sin45°

，
解之得：AB=10

6

≈24.49海里．                                          
所以渔政204船距钓鱼岛A的距离约为24.49海里．