试题

（2005·玉林）阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D（如图），则sinB=

AD

c

，sinC=

AD

b

，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即

b

sinB

=

c

sinC

．
同理有

c

sinC

=

a

sinA

，

a

sinA

=

b

sinB

．
所以

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

…（*）
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论（*）和有关定理就可以
求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：
第一步：由条件a、b、∠A

用关系式

求出

∠B；
第二步：由条件∠A、∠B．

用关系式

求出

∠C；
第三步：由条件．

用关系式

求出

c．
（2）一货货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以28.4海里/时的速度按北偏东45°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A的距离AB（结果精确到0.1．参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.90 6，sin70°=0.940，sin75°=0.966）．

解：（1）

a

sinA

=

b

sinB

，∠A+∠B+∠C=180°，a、∠A、∠C或b、∠B、∠C，

c

sinC

=

a

sinA

或

b

sinB

=

c

sinC

（2）依题意：∠FBC=180°-∠ECB=135°，
∵∠FBA=70°，
∴∠ABC=65°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠ABC=40°，BC=14.2．
过B作BD⊥AC于D，
直角三角形BCD中
BD=BC·sin75°≈13.7
直角三角形ABD中
AB=BD÷sin40°≈21.3．
答：货轮距灯塔A的距离约为21.3海里．