试题

题目：
如图，海事救援指挥中心A接到海上SOS呼救：一艘渔船B在海上碰到暗礁，船体漏水下沉，5名船员需要援救．经测量渔船B到海岸最近的点C的距离BC=20km，∠BAC=22°37′，指挥中心立即制定三种救援方案（如图1）：
①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心33km的点D，然后再派冲锋舟前往B．
已知冲锋舟在海上航行的速度为60km/h，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h．
（sin22°37′=
5
13
，cos22°37′=
12
13
，tan22°37′=
5
12
）
（1）通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？
（2）事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足cos∠BPC=
2
3
（冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）．请你说明理由！
如果你反复探索没有解决问题，可以选取①、②、③两种研究方法：
方案①：在线段上AP任取一点M；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长．
方案②：在线段上AP任取一点M；设AM=x；然后用含有x的代数式表示出所用时间t；
方案③：利用现有数据，根据cos∠BPC=
2
3
计算出汽车行AP加上冲锋舟行BP的时间．
青果学院
答案
青果学院解：（1）∵BC=20km∠BAC=22°37′，
∴AB=
BC
sin∠BAC
=52km，AC=48km，
方案①
52
60
=
13
15
小时=52分钟，
②
48
90
+
20
60
=
13
15
小时=52分钟，
③
33
90
+
(48-33)2+202
60
=
11
30
+
25
60
=
47
60
小时=47分钟，
∴方案③较好；

（2）解：①点M为AP上任意一点，汽车开到M点放冲锋舟下水，青果学院
用时tM=
AM
90
+
BM
60
，汽车开到P放冲锋舟下水，用时tp=
AP
90
+
BP
60
，
延长BP过M作MH⊥BP于H，
∵cos∠BPC=
2
3
，
∴PH=
2
3
Mp，
∴汽车行MP的时间=冲锋舟行PH的时间，
∴tp=
AP
90
+
BP
60
=
AM
90
+
BH
60
，

∵BM＞BH∴tM＞tp；
②当点M在PC上任意一点时，过M作MH⊥BP于H，同理可证：tM＞tp
方案②tM=
202+(48-x)2
60
+
x
90
，（当x=48-8
5
时，tM最小，此时cos∠BPC=
2
3
），
方案③tp=
19
5
+48
90
小时．
青果学院解：（1）∵BC=20km∠BAC=22°37′，
∴AB=
BC
sin∠BAC
=52km，AC=48km，
方案①
52
60
=
13
15
小时=52分钟，
②
48
90
+
20
60
=
13
15
小时=52分钟，
③
33
90
+
(48-33)2+202
60
=
11
30
+
25
60
=
47
60
小时=47分钟，
∴方案③较好；

（2）解：①点M为AP上任意一点，汽车开到M点放冲锋舟下水，青果学院
用时tM=
AM
90
+
BM
60
，汽车开到P放冲锋舟下水，用时tp=
AP
90
+
BP
60
，
延长BP过M作MH⊥BP于H，
∵cos∠BPC=
2
3
，
∴PH=
2
3
Mp，
∴汽车行MP的时间=冲锋舟行PH的时间，
∴tp=
AP
90
+
BP
60
=
AM
90
+
BH
60
，

∵BM＞BH∴tM＞tp；
②当点M在PC上任意一点时，过M作MH⊥BP于H，同理可证：tM＞tp
方案②tM=
202+(48-x)2
60
+
x
90
，（当x=48-8
5
时，tM最小，此时cos∠BPC=
2
3
），
方案③tp=
19
5
+48
90
小时．
考点梳理
解直角三角形的应用-方向角问题．
（1）分别求出三种方案所需时间，比较后找到最省时的方案即可；
（2）分别有M点向BP作垂线，构造直角三角形利用锐角三角函数的定义求出距离后计算出时间即可．
本题考查了解直角三角形的相关知识，特别是与实际问题相结合的题目就要求同学们从中整理出直角三角形的模型，利用解直角三角形的知识解决．
应用题．
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