试题

（2006·沈阳）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB=5km．
（1）景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）
（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到1km）
（参考数据：

3

=1.73，

5

=2.24，sin53°=cos37°=0.80，sin37°=cos53°=0.60，tan53°=1.33，tan37°=0.75，sin38°=cos52°=0.62，sin52°=cos38°=0.79，tan38°=0.78，tan52°=1.28，sin75°=0.97，cos75°=0.26，tan75°=3.73．）

解：（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，
过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，
在Rt△DAF中，∠ADF=30°，
∴AF=

1

2

AD=

1

2

×8=4，
∴DF=

AD2-AF2

=

82-42

=4

3

，
在Rt△ABF中BF=

AB2-AF2

=

52-42

=3，
∴BD=DF-BF=4

3

-3，
sin∠ABF=

AF

AB

=

4

5

，
在Rt△DBE中，sin∠DBE=

DE

BD

，
∵∠ABF=∠DBE，
∴sin∠DBE=

4

5

，
∴DE=BD·sin∠DBE=

4

5

×（4

3

-3）=

16 3 -12

5

≈3.1（km），
∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；

（2）由题意可知∠CDB=75°，
由（1）可知sin∠DBE=

4

5

=0.8，所以∠DBE=53°，
∴∠DCB=180°-75°-53°=52°，
在Rt△DCE中，sin∠DCE=

DE

DC

，
∴DC=

DE

sin52°

≈

3.1

0.79

≈4（km），
∴景点C与景点D之间的距离约为4km．
解：（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，
过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，
在Rt△DAF中，∠ADF=30°，
∴AF=

1

2

AD=

1

2

×8=4，
∴DF=

AD2-AF2

=

82-42

=4

3

，
在Rt△ABF中BF=

AB2-AF2

=

52-42

=3，
∴BD=DF-BF=4

3

-3，
sin∠ABF=

AF

AB

=

4

5

，
在Rt△DBE中，sin∠DBE=

DE

BD

，
∵∠ABF=∠DBE，
∴sin∠DBE=

4

5

，
∴DE=BD·sin∠DBE=

4

5

×（4

3

-3）=

16 3 -12

5

≈3.1（km），
∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；

（2）由题意可知∠CDB=75°，
由（1）可知sin∠DBE=

4

5

=0.8，所以∠DBE=53°，
∴∠DCB=180°-75°-53°=52°，
在Rt△DCE中，sin∠DCE=

DE

DC

，
∴DC=

DE

sin52°

≈

3.1

0.79

≈4（km），
∴景点C与景点D之间的距离约为4km．