试题

题目：
（2010·南平）南平是海峡西岸经济区的绿色腹地．如图所示，我市的A、B两地相距20km，B在A的北偏东45°方向上，一森林保护中心P在A的北偏东30°和B的正西方向上．现计划修建的一条高速铁青果学院路将经过AB（线段），已知森林保护区的范围在以点P为圆心，半径为4km的圆形区域内．请问这条高速铁路会不会穿越保护区，为什么？
答案
青果学院解：延长BP作BC⊥AC于C，过P作PM⊥AB于M．
因为B在A的北偏东45°方向上，
所以A在B的南偏西45°方向．
在Rt△ABC中，
∵∠CBA=∠CAB=45°，
∴AC=BC=10
2
．
在直角△PCA中，
∠PAC=30°，则PC=
10
6
3
，
∴PB=10
2
-
10
6
3
，
在直角△PMB中，
PM=（10
2
-
10
6
3
）×
2
2
=10-
10
3
3
≈4.226．
∵4.226＞4，
∴这条高速铁路不会穿越保护区．
青果学院解：延长BP作BC⊥AC于C，过P作PM⊥AB于M．
因为B在A的北偏东45°方向上，
所以A在B的南偏西45°方向．
在Rt△ABC中，
∵∠CBA=∠CAB=45°，
∴AC=BC=10
2
．
在直角△PCA中，
∠PAC=30°，则PC=
10
6
3
，
∴PB=10
2
-
10
6
3
，
在直角△PMB中，
PM=（10
2
-
10
6
3
）×
2
2
=10-
10
3
3
≈4.226．
∵4.226＞4，
∴这条高速铁路不会穿越保护区．
考点梳理
解直角三角形的应用-方向角问题．
过P作PM⊥AB于M，延长BP作BC⊥AC于C．在直角△APC中，运用三角函数用求出AC，BC的长．在直角△PCA中，运用三角函数求出PC的长，从而得到PB的长．在直角△PMB中，运用三角函数求出PM，比较PM与4km的大小关系即可．
根据三角函数求出PM的长是解决本题的关键．
压轴题．
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