试题

题目：
青果学院如图，·ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°，点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E．设AP=x，当x=
8
8
时，△ABP与△EBC相似．
答案
8

解：过点P作PG⊥BC于G
在Rt△BPG中，∠PGB=90°青果学院
∴BP=
BG2+PG2
=
(2
3
)2+(2+x)2
=
x2+4x+16
，
如果△ABP和△BCE相似∵∠APB=∠EBC
又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB，
∴∠ABP=∠ECB
∴
AB
BP
=
EC
BC
即
4
x2+4x+16
=
6
x+6
×2
7
6

解得 x1=8，x2=-
4
3
（不合题意，舍去）
∴x=8，
故答案为8．
考点梳理
相似三角形的判定；平行四边形的性质．
过点P作PG⊥BC于G，在直角△BPG中，根据勾股定理即可求得：BP．根据相似三角形对应边的比相等即可求得x的值．
此题是一个综合性很强的题目，主要考查等腰三角形的性质、三角形相似、解直角三角形、方程等知识．难度较大，有利于培养同学们钻研和探索的问题的精神
动点型．
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