试题

（2011·泰安）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．
（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；
（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．

证明：（1）∵点E是BC的中点，BC=2AD，
∴EC=BE=

1

2

BC=AD，
又∵AD∥BC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AE∥DC，
∴△AOE∽△COF；

（2）连接DE，
∵AD∥BE，AD=BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∠ABE=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴GE=GA=GB=GD=

1

2

BD=

1

2

AE，
∴E、F分别是BC、CD的中点，
∴EF、GE是△CBD的两条中位线，
∴EF=

1

2

BD=GD，GE=

1

2

CD=DF，
又GE=GD，
∴EF=GD=GE=DF，
∴四边形EFDG是菱形．
证明：（1）∵点E是BC的中点，BC=2AD，
∴EC=BE=

1

2

BC=AD，
又∵AD∥BC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AE∥DC，
∴△AOE∽△COF；

（2）连接DE，
∵AD∥BE，AD=BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∠ABE=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴GE=GA=GB=GD=

1

2

BD=

1

2

AE，
∴E、F分别是BC、CD的中点，
∴EF、GE是△CBD的两条中位线，
∴EF=

1

2

BD=GD，GE=

1

2

CD=DF，
又GE=GD，
∴EF=GD=GE=DF，
∴四边形EFDG是菱形．