试题

（2011·营口）如图（1），直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x²+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值．
（图（2）、图（3）供画图探究）

解：（1）由已知，得B（3，0），C（0，3），
∴

3=c 0=9+3b+c

，
解得

b=-4 c=3

，
∴抛物线解析式为y=x²-4x+3；

（2）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴对称轴为x=2，顶点坐标为P（2，-1），
∴满足条件的点M分别为M₁（2，7），M₂（2，2

5

-1），M₃（2，

3

2

），M₄（2，-2

5

-1）；

（3）由（1），得A（1，0），
连接BP，
∵∠CBA=∠ABP=45°，
∴当

BQ

BP

=

BC

BA

时，△ABC∽△PBQ，
∴BQ=3．
∴Q₁（0，0），
∴当

BQ

BP

=

BA

BC

时，△ABC∽△QBP，
∴BQ=

2

3

．
∴Q′（

7

3

，0）．

（4）当0＜x＜3时，在此抛物线上任取一点E，连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，
设点F（x，-x+3），点E（x，x²-4x+3），
∴EF=-x²+3x，
∴S_△CBE=S_△CEF+S_△BEF=

1

2

EF·OB，
=-

3

2

x²+

9

2

x，
=-

3

2

（x-

3

2

）²+

27

8

，
∵a=-

3

2

＜0，
∴当x=

3

2

时，S_△CBE有最大值，
∴y=x²-4x+3=-

3

4

，
∴E（

3

2

，-

3

4

）．
解：（1）由已知，得B（3，0），C（0，3），
∴

3=c 0=9+3b+c

，
解得

b=-4 c=3

，
∴抛物线解析式为y=x²-4x+3；

（2）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴对称轴为x=2，顶点坐标为P（2，-1），
∴满足条件的点M分别为M₁（2，7），M₂（2，2

5

-1），M₃（2，

3

2

），M₄（2，-2

5

-1）；

（3）由（1），得A（1，0），
连接BP，
∵∠CBA=∠ABP=45°，
∴当

BQ

BP

=

BC

BA

时，△ABC∽△PBQ，
∴BQ=3．
∴Q₁（0，0），
∴当

BQ

BP

=

BA

BC

时，△ABC∽△QBP，
∴BQ=

2

3

．
∴Q′（

7

3

，0）．

（4）当0＜x＜3时，在此抛物线上任取一点E，连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，
设点F（x，-x+3），点E（x，x²-4x+3），
∴EF=-x²+3x，
∴S_△CBE=S_△CEF+S_△BEF=

1

2

EF·OB，
=-

3

2

x²+

9

2

x，
=-

3

2

（x-

3

2

）²+

27

8

，
∵a=-

3

2

＜0，
∴当x=

3

2

时，S_△CBE有最大值，
∴y=x²-4x+3=-

3

4

，
∴E（

3

2

，-

3

4

）．