试题

（2008·宜昌）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，P是边AB（含端点）上的动点．过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上．
（1）△ABC与△SBR是否相似，说明理由；
（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；
（3）设边AB=1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值．

解：（1）∵RS是直角∠PRB的平分线，
∴∠PRS=∠BRS=45°．
在△ABC与△SBR中，∠C=∠BRS=45°，
∠B是公共角，
∴△ABC∽△SBR．

（2）线段TS的长度与PA相等．
∵四边形PTEF是正方形，
∴PF=PT，∠SPT+∠FPA=180°-∠TPF=90°，
在Rt△PFA中，∠PFA+∠FPA=90°，
∴∠PFA=∠TPS，
∴Rt△PAF≌Rt△TSP，∴PA=TS．
当点P运动到使得T与R重合时，这时△PFA与△TSP都是等腰直角三角形且底边相等，即有PA=TS．
由以上可知，线段ST的长度与PA相等．

（3）由题意，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高，
∴PS=BS，∴BS+PS+PA=1，∴PS=

1-PA

2

．
设PA的长为x，易知AF=PS，
则y=PF²=PA²+PS²，得y=x²+（

1-x

2

）²，
即y=

5

4

x2-

1

2

x+

1

4

，
根据二次函数的性质，当x=

1

5

时，y有最小值为

1

5

．
如图2，当点P运动使得T与R重合时，PA=TS为最大．
易证等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，
∴PA=

1

3

．
如图3，当P与A重合时，得x=0．
∴x的取值范围是0≤x≤

1

3

．
∴①当x的值由0增大到

1

5

时，y的值由

1

4

减小到

1

5

∴②当x的值由

1

5

增大到

1

3

时，y的值由

1

5

增大到

2

9

．
∵

1

5

≤

2

9

≤

1

4

，
∴在点P的运动过程中，正方形PTEF面积y的最小值是

1

5

，y的最大值是

1

4

．
解：（1）∵RS是直角∠PRB的平分线，
∴∠PRS=∠BRS=45°．
在△ABC与△SBR中，∠C=∠BRS=45°，
∠B是公共角，
∴△ABC∽△SBR．

（2）线段TS的长度与PA相等．
∵四边形PTEF是正方形，
∴PF=PT，∠SPT+∠FPA=180°-∠TPF=90°，
在Rt△PFA中，∠PFA+∠FPA=90°，
∴∠PFA=∠TPS，
∴Rt△PAF≌Rt△TSP，∴PA=TS．
当点P运动到使得T与R重合时，这时△PFA与△TSP都是等腰直角三角形且底边相等，即有PA=TS．
由以上可知，线段ST的长度与PA相等．

（3）由题意，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高，
∴PS=BS，∴BS+PS+PA=1，∴PS=

1-PA

2

．
设PA的长为x，易知AF=PS，
则y=PF²=PA²+PS²，得y=x²+（

1-x

2

）²，
即y=

5

4

x2-

1

2

x+

1

4

，
根据二次函数的性质，当x=

1

5

时，y有最小值为

1

5

．
如图2，当点P运动使得T与R重合时，PA=TS为最大．
易证等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，
∴PA=

1

3

．
如图3，当P与A重合时，得x=0．
∴x的取值范围是0≤x≤

1

3

．
∴①当x的值由0增大到

1

5

时，y的值由

1

4

减小到

1

5

∴②当x的值由

1

5

增大到

1

3

时，y的值由

1

5

增大到

2

9

．
∵

1

5

≤

2

9

≤

1

4

，
∴在点P的运动过程中，正方形PTEF面积y的最小值是

1

5

，y的最大值是

1

4

．