试题

题目：
青果学院（2010·杭州）如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）如果AC=BD，AD=2
2
BD，设BD=a，求BC的长．
答案
青果学院（1）证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，
∴∠DBA=∠CAE，
又∵
AB
AC
=
BD
AE
=3，
∴△ABD∽△CAE；（4分）

（2）解：∵AB=3AC=3BD，AD=2
2
BD，
∴AD2+BD2=8BD2+BD2=9BD2=AB2，
∴∠D=90°，
由（1）得△ABD∽△CAE
∴∠E=∠D=90°，
∵AE=
1
3
BD，EC=
1
3
AD=
2
3
2
BD，AB=3BD，
∴在Rt△BCE中，BC2=（AB+AE）2+EC2
=（3BD+
1
3
BD）2+（
2
2
3
BD）2=
108
9
BD2=12a2，
∴BC=2
3
a．（6分）
青果学院（1）证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，
∴∠DBA=∠CAE，
又∵
AB
AC
=
BD
AE
=3，
∴△ABD∽△CAE；（4分）

（2）解：∵AB=3AC=3BD，AD=2
2
BD，
∴AD2+BD2=8BD2+BD2=9BD2=AB2，
∴∠D=90°，
由（1）得△ABD∽△CAE
∴∠E=∠D=90°，
∵AE=
1
3
BD，EC=
1
3
AD=
2
3
2
BD，AB=3BD，
∴在Rt△BCE中，BC2=（AB+AE）2+EC2
=（3BD+
1
3
BD）2+（
2
2
3
BD）2=
108
9
BD2=12a2，
∴BC=2
3
a．（6分）
考点梳理
相似三角形的判定；勾股定理．
（1）由BD∥AC，得∠EAC=∠B；根据已知条件，易证得AB：AC和BD：AE的值相等，由此可根据SAS判定两个三角形相似．
（2）首先根据已知条件表示出AB、AD、AC的值，进而可由勾股定理判定∠D=∠E=90°；根据（1）得出的相似三角形的相似比，可表示出EC、AE的长，进而可在Rt△BEC中，根据勾股定理求出BC的长．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，以及勾股定理的应用．能够由勾股定理判断出△ABD和△AEC是直角三角形，是解答（2）题的关键．
几何综合题．
找相似题