试题

题目：
青果学院如图，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是边BC上一点，下列条件中：①∠APB=∠EPC；②∠APE的平分线垂直于BC；③P是BC的中点；④BP：BC=2：3．可以得到△ABP∽△ECP的是
①②④
①②④
．（填序号）
答案
①②④

解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，
当∠APB=∠EPC时，又∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△ECP；
当∠APE的平分线垂直于BC，如图所示：
青果学院
∵QP⊥BC，
∴∠QPB=∠QPC=90°，
又∵PQ为∠APE的平分线，
∴∠APQ=∠EPQ，
∴∠QPB-∠APQ=∠QPC-∠EPQ，即∠APB=∠EPC，
同理可得出△ABP∽△ECP；
当P为BC中点时，BP=CP=
1
2
BC，
又∵E为CD的中点，
∴DE=CE=
1
2
CD，
∴PC=EC，
又∵∠C=90°，
∴△PEC为等腰直角三角形，
而AB=2BP，△ABP不为等腰直角三角形，
则P是BC的中点时，两三角形不相似；
当BP：BC=2：3时，设BP=2k，则BC=3k，
∴CP=BC-BP=3k-2k=k，
又∵E为CD的中点，
∴CE=DE=
1
2
CD=
1
2
BC=
3
2
k，
∴
AB
CE
=
3k
3
2
k
=2，
BP
CP
=
2k
k
=2，
∴
AB
CE
=
BP
CP
，且∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△ECP，
综上，可以得到△ABP∽△ECP的选项为①②④．
故答案为：①②④
考点梳理
相似三角形的判定；正方形的性质．
由四边形ABCD为正方形，得到四条边相等，四个内角都为直角．
若∠APB=∠EPC，加上∠B=∠C=90°，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形ABP与三角形ECP相似；
若∠APE的平分线垂直于BC，根据题意画出相应的图形，根据QP垂直BC，得到∠QPB=∠QPC=90°，再由PQ为角平分线得到一对角相等，两等式相减可得出∠APB=∠EPC，加上∠B=∠C=90°，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形ABP与三角形ECP相似；
若P为BC的中点，由E也为CD的中点，得到CP=CE，又∠C=90°，可得出三角形PEC为等腰直角三角形，而三角形ABP中，AB=2BP，不为等腰直角三角形，故两三角形不相似；
若BP：BC=2：3，设BP=2k，BC=3k，用BC-BP=CP表示出CP，由E为CD的中点，表示出CE，可得出AB：EC=BP：CP，且夹角∠B=∠C=90°，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出三角形ABP与三角形ECP相似，
综上，得到可以得出△ABP∽△ECP的选项．
此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，利用了转化的思想，其中相似三角形的判定方法为：两对对应边相等的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；三边对应成比例的三角形相似．
计算题．
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