试题

题目：
（2002·三明）已知：正方形的边长为1
（1）如图①，可以算出正方形的对角线为
n2+1
n2+1
，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，n个呢
？
青果学院
（2）根据图②，求证△BCE∽△BED；
青果学院青果学院
（3）由图③，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明，1．∠BEC+∠BDE=45°；⒉∠BEC+∠BED=45°；⒊∠BEC+∠DFE=45°
注意：你完成整张试卷全部试题的解答后，如果还有时间在图③中发现新的结论（不准添加辅助线和其它字母）并加以证明，将酌情加1～3分．
答案
n2+1

解：（1）由勾股定理知，在第一个图形中，对角线长=
2
=
12+1
，
第二个图形中，对角线长=
5
=
22+1
，
第三个图形中，对角线长=
10
=
32+1
，
所以第n个图形中，对角线长=
n2+1
；

（2）在△BCE中，BC=1，BE=
2
，EC=
5
，
在△BED中，BE=
2
，BD=2，ED=
10
，
所以
BE
BC
=
BD
BE
=
ED
EC
=
2
，
∴△BCE∽△BED；

（3）选取③，
∵CD∥EF，且CE=DF，
∴四边形CEFD为等腰梯形，
∴∠DFE=∠CEF，
∴∠BEC+∠DFE=∠BEC+∠CEF=45°．
考点梳理
正方形的性质；相似三角形的判定．
（1）主要是根据勾股定理寻找规律，容易在数据中找到正确结论；
（2）在每个三角形中，根据勾股定理易求出每条边的长度，可利用三组边对应成比例，两三角形相似来判定；
（3）欲证∠BEC+∠DFE=45°，在本题中等于45°的角有两个，即∠AEB和∠BEF，所以在证明第三个结论时，需把这两个角想法转移到已知的一个角中去，利用等腰梯形的性质求解即可．
此题主要考查了相似的判定、勾股定理的运用、等腰梯形的性质．
压轴题．
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