试题

（2003·舟山）如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．
（1）若PC=PD，求PB的长．
（2）试问线段AB上是否存在一点P，使PC²+PD²=4？如果存在，问这样的P点有几个并求出PB的值；如果不存在，说明理由．
（3）当点P在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC、PD具有何种关系）时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论．

解：（1）∵PC切⊙A点于C，
∴PC⊥AC，
PC²=PA²-AC²，
同理PD²=PB²-BD²，
∵PC=PD，
∴PA²-AC²=PB²-BD²
设PB=x，PA=4-x代入得x²-1²=（4-x）²-2²，
解得x=

13

8

，1＜

13

8

＜2，
即PB的长为

13

8

（PA长为

19

8

＞2），

（2）假定存在一点P使PC²+PD²=4，设PB=x，
则PD²=x²-1 PC²=（4-x）²-2²，
代入条件得（4-x）²-2²+x²-1=4，
代简得2x²-8x+7=0解得x=2±

2

2

，
∵P在两圆间的圆外部分，
∴1＜PB＜2即1＜x＜2，
∴满足条件的P点只有一个，这时PB=2-

2

2

，

（3）当PC：PD=2：1或PB=

4

3

时，也有△PCA∽△PDB，
这时，在△PCA与△PDB中

AC

BD

=

2

1

=

PC

PD

或(

AP

BP

)，
∠C=∠D=90°，
∴△PCA∽△PDB，
∴∠BPD=∠APC=∠BPE（E在CP的延长线上），
∴B点在∠DPE的角平分线上，B到PD与PE的距离相等，
∵⊙B与PD相切，
∴⊙B也与CP的延长线PE相切．
解：（1）∵PC切⊙A点于C，
∴PC⊥AC，
PC²=PA²-AC²，
同理PD²=PB²-BD²，
∵PC=PD，
∴PA²-AC²=PB²-BD²
设PB=x，PA=4-x代入得x²-1²=（4-x）²-2²，
解得x=

13

8

，1＜

13

8

＜2，
即PB的长为

13

8

（PA长为

19

8

＞2），

（2）假定存在一点P使PC²+PD²=4，设PB=x，
则PD²=x²-1 PC²=（4-x）²-2²，
代入条件得（4-x）²-2²+x²-1=4，
代简得2x²-8x+7=0解得x=2±

2

2

，
∵P在两圆间的圆外部分，
∴1＜PB＜2即1＜x＜2，
∴满足条件的P点只有一个，这时PB=2-

2

2

，

（3）当PC：PD=2：1或PB=

4

3

时，也有△PCA∽△PDB，
这时，在△PCA与△PDB中

AC

BD

=

2

1

=

PC

PD

或(

AP

BP

)，
∠C=∠D=90°，
∴△PCA∽△PDB，
∴∠BPD=∠APC=∠BPE（E在CP的延长线上），
∴B点在∠DPE的角平分线上，B到PD与PE的距离相等，
∵⊙B与PD相切，
∴⊙B也与CP的延长线PE相切．