试题

（2004·南通）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连接DB，DE，OC．
（1）从图中找出一对相似三角形（不添加任何字母和辅助线），并证明你的结论；
（2）若AD=2，AE=1，求CD的长．

解：（1）△BCO∽△DBE．
∵∠BDE=90°，∠CBO=90°，
∴∠BDE=∠CBO，
又∵OC⊥BD，
∴∠DEB+∠DBE=∠DBE+∠BOC=90°，
∴∠DEB=∠BOC，
∴△BCO∽△DBE；

（2）∵AD²=AE·AB，AD=2，AE=1，
∴AB=4，
∵CD=CB，∠ABC=90°，设CD的长为x，
则（x+2）²=x²+4²，
解得x=3，即CD=3．
解：（1）△BCO∽△DBE．
∵∠BDE=90°，∠CBO=90°，
∴∠BDE=∠CBO，
又∵OC⊥BD，
∴∠DEB+∠DBE=∠DBE+∠BOC=90°，
∴∠DEB=∠BOC，
∴△BCO∽△DBE；

（2）∵AD²=AE·AB，AD=2，AE=1，
∴AB=4，
∵CD=CB，∠ABC=90°，设CD的长为x，
则（x+2）²=x²+4²，
解得x=3，即CD=3．