试题

（2004·潍坊）附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．
（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；
（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；
（3）求△BEC与△BEA的面积之比．

解：（1）在Rt△CED中，∠BDC=60°，
∴DE=

CD

2

，
∴DE=AD，
∴∠DAE=∠DEA=30°，
又∵∠ECA=90°-∠BDC=30°，
∴CE=AE，
∵∠EAB=45-30=15°，∠AEB=360-180-30=150°，
∴∠ABE=180°-150°-15°=15°，
∴BE=AE=CE．

（2）图中有三角形相似，△ADE∽△AEC；
∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC，
∴△ADE∽△AEC；

（3）作AF⊥BD的延长线于F，
设AD=DE=x，在Rt△CED中，
可得CE=

3

x，故AE=

3

x．
∠ECD=30°．
在Rt△AEF中，AE=

3

x，∠AED=∠DAE=30°，
∴sin∠AEF=

AF

AE

，
∴AF=AE·sin∠AEF=

3

x×

1

2

=

3

2

x．
∴

S△BEC

S△BEA

=

1 2 BE·CE

1 2 BE·AF

=

CE

AF

=

3 x

3 2 x

=2．
解：（1）在Rt△CED中，∠BDC=60°，
∴DE=

CD

2

，
∴DE=AD，
∴∠DAE=∠DEA=30°，
又∵∠ECA=90°-∠BDC=30°，
∴CE=AE，
∵∠EAB=45-30=15°，∠AEB=360-180-30=150°，
∴∠ABE=180°-150°-15°=15°，
∴BE=AE=CE．

（2）图中有三角形相似，△ADE∽△AEC；
∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC，
∴△ADE∽△AEC；

（3）作AF⊥BD的延长线于F，
设AD=DE=x，在Rt△CED中，
可得CE=

3

x，故AE=

3

x．
∠ECD=30°．
在Rt△AEF中，AE=

3

x，∠AED=∠DAE=30°，
∴sin∠AEF=

AF

AE

，
∴AF=AE·sin∠AEF=

3

x×

1

2

=

3

2

x．
∴

S△BEC

S△BEA

=

1 2 BE·CE

1 2 BE·AF

=

CE

AF

=

3 x

3 2 x

=2．