已知：如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．点O从A点出发，沿AB以每秒sqrt{3}cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒（t＞0）时，以O点为圆心...-青果题库-青果学院

题目：

（2004·无锡）已知：如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．点O从A点出发，沿AB以每秒

3

cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒（t＞0）时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点．过E作EG⊥DE 青果学院

交射线BC于G．
（1）若E与B不重合，问t为何值时，△BEG与△DEG相似？
（2）问：当t在什么范围内时，点G在线段BC上当t在什么范围内时，点G在线段BC的延长线上？
（3）当点G在线段BC上（不包括端点B、C）时，求四边形CDEG的面积S（cm²）关于时间t（秒）的函数关系式，并问点O运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？

答案

解：（1）连接OD，DF．
∵AC切⊙O于点D，
∴OD⊥AC．
在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=

3

t，
∴OD=OF=

3

2

t，AD=OA·cosA=

3t

2

．
又∵∠FOD=90°-30°=60°，
∴∠AED=30°，∴AD=ED=

3t

2

．
∵DE⊥EG，
∴∠BEG=60°，
△BEG与△DEG相似．
∵∠B=∠GED=90°，
①当∠EGD=30°，
CE=2BE=2（6

3

-

3

2

t）则∠BGD=60°=∠ACB，此时G与C重合，
青果学院

DE=

3t

2

=AD，CD=12-

3t

2

，BE=6

3

-

3

2

t，
∵△BEG∽△DEC，
∴

CE

CD

=

BE

DE

，
∴

2(6

3

-

3

2

t)

12-

3t

2

=

6

3

-

3

2

t

3t

2

，
t=

8

3

；
②当∠EGD=60°．
∴DG⊥BC，DG∥AB．
在Rt△DEG中，∠DEG=90°，DE=

3t

2

，
∴DG=

3

t．
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6，
∴AC=12，AB=6

3

，
∴CD=12-

3t

2

．
∵DG∥AB，
∴

DG

AB

=

CD

AC

解得t=

24

7

．
答：当t为

8

3

或

24

7

时，△BEG与△EGD相似；

（2）∵AC切⊙O于点D，
∴OD⊥AC．
在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=

3

t，
∴∠AED=30°，∴DE⊥EG，
∴∠BEG=60°．
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6，
∴AB=6

3

，BE=6

3

-

3

2

t．
Rt△BEG中，∠BEG=60°，
∴BG=BE·tan60°=18-

9

2

t．
当0≤18-

9

2

t≤6，即

8

3

≤t≤4时，点G在线段BC上；
当18-

9

2

t＞6，即0＜t＜

8

3

时，点G在线段BC的延长线上；青果学院

（3）过点D作DM⊥AB于M．
在Rt△ADM中，∠A=30°，
∴DM=

1

2

AD=

3

4

t．
∴S=S_△ABC-S_△AED-S_△BEG
=36

3

-

63

3

16

t²-27

3

t
=-

63

3

16

（t-

24

7

）²+

72

3

7

（

8

3

＜t＜4）．
所以当t=

24

7

时，s取得最大值，最大值为

72

3

7

．

解：（1）连接OD，DF．
∵AC切⊙O于点D，
∴OD⊥AC．
在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=

3

t，
∴OD=OF=

3

2

t，AD=OA·cosA=

3t

2

．
又∵∠FOD=90°-30°=60°，
∴∠AED=30°，∴AD=ED=

3t

2

．
∵DE⊥EG，
∴∠BEG=60°，
△BEG与△DEG相似．
∵∠B=∠GED=90°，
①当∠EGD=30°，
CE=2BE=2（6

3

-

3

2

t）则∠BGD=60°=∠ACB，此时G与C重合，
青果学院

DE=

3t

2

=AD，CD=12-

3t

2

，BE=6

3

-

3

2

t，
∵△BEG∽△DEC，
∴

CE

CD

=

BE

DE

，
∴

2(6

3

-

3

2

t)

12-

3t

2

=

6

3

-

3

2

t

3t

2

，
t=

8

3

；
②当∠EGD=60°．
∴DG⊥BC，DG∥AB．
在Rt△DEG中，∠DEG=90°，DE=

3t

2

，
∴DG=

3

t．
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6，
∴AC=12，AB=6

3

，
∴CD=12-

3t

2

．
∵DG∥AB，
∴

DG

AB

=

CD

AC

解得t=

24

7

．
答：当t为

8

3

或

24

7

时，△BEG与△EGD相似；

（2）∵AC切⊙O于点D，
∴OD⊥AC．
在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=

3

t，
∴∠AED=30°，∴DE⊥EG，
∴∠BEG=60°．
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6，
∴AB=6

3

，BE=6

3

-

3

2

t．
Rt△BEG中，∠BEG=60°，
∴BG=BE·tan60°=18-

9

2

t．
当0≤18-

9

2

t≤6，即

8

3

≤t≤4时，点G在线段BC上；
当18-

9

2

t＞6，即0＜t＜

8

3

时，点G在线段BC的延长线上；青果学院

（3）过点D作DM⊥AB于M．
在Rt△ADM中，∠A=30°，
∴DM=

1

2

AD=

3

4

t．
∴S=S_△ABC-S_△AED-S_△BEG
=36

3

-

63

3

16

t²-27

3

t
=-

63

3

16

（t-

24

7

）²+

72

3

7

（

8

3

＜t＜4）．
所以当t=

24

7

时，s取得最大值，最大值为

72

3

7

．

考点梳理

切线的性质；二次函数综合题；相似三角形的判定．

试题