试题

（2006·山西）已知△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，且DA：AB=1：2．
（1）求∠CDB的度数；
（2）在切线DC上截取CE=CD，连接EB，判断直线EB与⊙O的位置关系，并证明；
（3）利用图中已标明的字母，连接线段，找出至少5对相似三角形（不包含全等，不需要证明）．（多写者给附加分，附加分不超过3分，计入总分，但总分不超过120分．）

解：（1）如图，连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°．
设⊙O的半径为R，则AB=2R，
∵DA：AB=1：2，
∴DA=R，DO=2R．
在Rt△DOC中，sin∠CDO=

OC

OD

=

1

2

．
∴∠CDO=30°，即∠CDB=30°．

（2）直线EB与⊙O相切．
证明：连接OC，
由（1）可知∠CDO=30°，
∴∠COD=60°．
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=30°．
∴∠CBD=∠CDB．
∴CD=CB．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°．
∴∠ECB=60°．
又∵CD=CE，
∴CB=CE．
∴△CBE为等边三角形．
∴∠EBA=∠EBC+∠CBD=90°．
∴EB是⊙O的切线．

（3）如图，连接OE，
相似三角形有△CDO与△BDE，△CEO与△BDE，△BEO与△BDE，△CBA与△BDE，△OAC与△BCE，△DAC与△DCB与△DOE，△BOC与△DCB与△DOE．
解：（1）如图，连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°．
设⊙O的半径为R，则AB=2R，
∵DA：AB=1：2，
∴DA=R，DO=2R．
在Rt△DOC中，sin∠CDO=

OC

OD

=

1

2

．
∴∠CDO=30°，即∠CDB=30°．

（2）直线EB与⊙O相切．
证明：连接OC，
由（1）可知∠CDO=30°，
∴∠COD=60°．
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=30°．
∴∠CBD=∠CDB．
∴CD=CB．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°．
∴∠ECB=60°．
又∵CD=CE，
∴CB=CE．
∴△CBE为等边三角形．
∴∠EBA=∠EBC+∠CBD=90°．
∴EB是⊙O的切线．

（3）如图，连接OE，
相似三角形有△CDO与△BDE，△CEO与△BDE，△BEO与△BDE，△CBA与△BDE，△OAC与△BCE，△DAC与△DCB与△DOE，△BOC与△DCB与△DOE．