试题

（2012·洪山区模拟）已知Rt△ABC中，直角边AC=3，BC=4，P、Q分别是AB、BC上的动点，且点P不与A、B重合．点Q不与B、C重合．
（1）若CP⊥AB于点P，如图1，△CPQ为等腰三角形，这时满足条件的点Q有几个？直接写出相等的腰和相应的CQ的长（不写解答过程）
（2）当P是AB的中点时，如图2，若△CPQ与△ABC相似，这时满足条件的点Q有几个？分别求出相应的CQ的长？
（3）当CQ的长取不同的值时，除PQ垂直于BC的△CPQ外，其余的△CPQ是否可能为直角三角形？若可能，请说明所有情况？若不可能，请说明理由．

解：（1）当CP为等腰三角形的底边时作CP的垂直平分线，交BC于Q，
则腰是CQ=PQ；
此时CQ=

1

2

BC=1.5；
当CP为腰时，在BC上截取CQ=CP，
则腰是CP=CQ′，
此时CQ=CP=

AC·BC

AB

=2.4；
（2）当P是AB的中点时，如图2，若△CPQ与△ABC相似，这时满足条件的点Q有3个，
①当△COQ∽△BCA，时，
∴

CQ

BC

=

BP

AB

=

1

2

，
∴CQ=

1

2

BC=2；
②△PQ′B∽△CAB时，
∴

BP

BC

=

BQ′

AB

，
∵AP=BP=

1

2

AB=2.5，BC=4，
∴

2.5

4

=

BQ′

5

，
∴BQ′=

25

8

，
∴CQ′=4-

25

8

=

7

8

；
③△CPQ″∽△BCA时，
∴

CQ″

AB

=

CP

BC

，
∴

CQ″

5

=

2.5

4

，
∴CQ″=

25

8

；
（3）可能．
过Q作QP⊥BC，交AB于P点，连接CP，则△CPQ为直角三角形，作∠CAB的平分线AO，交BC于O点．作OP₁⊥AB于P₁点．
∴CO=OP₁以O为圆心，OC为半径作⊙O，⊙O与AB相切，切点为P₁，与CB的交点为D．
设CO=t，则OP₁=t，CD=2t，OB=4-t．
由△ABC∽△OBP₁，得

OP 1

AC

=

OB

AB

，
∴

t

3

=

4-t

5

，
解得：t=1.5，
∴CD=3，
∴当Q与点D重合时，以CQ为直径的圆与AB相切，切点为P₁，连CP₁、P₁Q，△CP₁Q为直角三角形，此时共有两个直角三角形，
当Q点在线段CD上时（不与C、D重合），0＜CQ＜3，CQ为直径的圆与AB相离，此时只有一个直角三角形CQP．（9分）
当Q点在DB上时（不与D、B重合），3＜CQ＜4，以CQ为直径的圆与AB有两个交点P₂、P₃．分别连接P₂、P₃与点C和Q，得直角三角形CQP₂和CQP₃，此时有三个直角三角形．
解：（1）当CP为等腰三角形的底边时作CP的垂直平分线，交BC于Q，
则腰是CQ=PQ；
此时CQ=

1

2

BC=1.5；
当CP为腰时，在BC上截取CQ=CP，
则腰是CP=CQ′，
此时CQ=CP=

AC·BC

AB

=2.4；
（2）当P是AB的中点时，如图2，若△CPQ与△ABC相似，这时满足条件的点Q有3个，
①当△COQ∽△BCA，时，
∴

CQ

BC

=

BP

AB

=

1

2

，
∴CQ=

1

2

BC=2；
②△PQ′B∽△CAB时，
∴

BP

BC

=

BQ′

AB

，
∵AP=BP=

1

2

AB=2.5，BC=4，
∴

2.5

4

=

BQ′

5

，
∴BQ′=

25

8

，
∴CQ′=4-

25

8

=

7

8

；
③△CPQ″∽△BCA时，
∴

CQ″

AB

=

CP

BC

，
∴

CQ″

5

=

2.5

4

，
∴CQ″=

25

8

；
（3）可能．
过Q作QP⊥BC，交AB于P点，连接CP，则△CPQ为直角三角形，作∠CAB的平分线AO，交BC于O点．作OP₁⊥AB于P₁点．
∴CO=OP₁以O为圆心，OC为半径作⊙O，⊙O与AB相切，切点为P₁，与CB的交点为D．
设CO=t，则OP₁=t，CD=2t，OB=4-t．
由△ABC∽△OBP₁，得

OP 1

AC

=

OB

AB

，
∴

t

3

=

4-t

5

，
解得：t=1.5，
∴CD=3，
∴当Q与点D重合时，以CQ为直径的圆与AB相切，切点为P₁，连CP₁、P₁Q，△CP₁Q为直角三角形，此时共有两个直角三角形，
当Q点在线段CD上时（不与C、D重合），0＜CQ＜3，CQ为直径的圆与AB相离，此时只有一个直角三角形CQP．（9分）
当Q点在DB上时（不与D、B重合），3＜CQ＜4，以CQ为直径的圆与AB有两个交点P₂、P₃．分别连接P₂、P₃与点C和Q，得直角三角形CQP₂和CQP₃，此时有三个直角三角形．