试题

题目：
青果学院（2005·闸北区一模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，如果BE=EC，CF=
1
4
CD，那么与△ABE相似的三角形是
△ECF、△AEF
△ECF、△AEF
．
答案
△ECF、△AEF

证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=AD，
∵BE=EC，CF=
1
4
CD，
∴AB：BE=2，CE：CF=2，
∴△ECF∽△ABE，
∴∠BAE=∠CEF，
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CEF+∠BEA=90°，
即∠AEF=90°，
在Rt△CEF中，EF=
5
CF，
同理可求AE=2
5
DF，
∴AE：EF=2，
∴△AEF∽△ABE．
故答案是△ECF和△AEF．
考点梳理
相似三角形的判定；正方形的性质．
由于四边形ABCD是正方形，可得∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=AD，而BE=EC，CF=
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CD，易求AB：BE=2，CE：CF=2，利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证△ECF∽△ABE；易得∠BAE=∠CEF，而∠BAE+∠BEA=90°，可求∠CEF+∠BEA=90°，从而有∠AEF=90°，再利用勾股定理易求EF=
5
CF，同理可求AE=2
5
DF，那么AE：EF=2，进而可证△AEF∽△ABE．
本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质．解题的关键是证明△ECF∽△ABE，在此基础上可证△AEF∽△ABE．
证明题．
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