试题

题目：
青果学院（2011·江西模拟）如图，⊙O的半径OA⊥弦BC，且∠AOB=60°，D是⊙O上另一点，AD与BC相交于点E，若DC=DE，则正确结论的序号是
①、②、④
①、②、④

（多填或错填得0分，少填酌情给分）．
①
AB
=
AC
；    ②∠ACD=105°；    ③AB＜BE；    ④△AEC∽△ACD．
答案
①、②、④

解：①半径OA⊥弦BC，根据垂径定理，
AC
=
AB
，故本选项正确；
②∵∠AOB=60°，
AC
=
AB
，∴∠ACB=∠CDA=30°，
又∵DC=DE，∴∠DCE=
180°-30°
2
=75°，
故∠ACD=30°+75°=105°，故本选项正确；
③∵∠BAD=∠DCB，∠DEB=∠BEA，
又∵∠BEA=∠CEB，
∴∠BAD=∠BEA，
∴AB=BE，故本选项错误；
④∵∠ACB=30°，∠ADC=30°，
∴∠CAE=∠DAC，
∴△AEC∽△ACD，故本选项正确．
故答案为：①②④．
考点梳理
垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定．
根据垂径定理、圆周角与圆心角的关系，判断出相关角的关系及具体度数，即可解答．
本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力，是一道综合性题目，难度不大，得出∠AOB=∠AOC是解题的关键．
压轴题．
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