试题

在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与线段BA、BD、BC分别相交于点E、P、F，且∠BPF=60°．
（1）如图1，写出图中所有与△BDC相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
（2）若直线l向右平移，与线段BA、BD、BC或其延长线分别相交于E、P、F，请在图2中画出一个与图1位置不尽相同的图形（其它条件不变），此时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；
（3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），△BPE的面积是△BPF的面积的2倍？请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）．

解：（1）△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB．
以△BDC∽△BFP以为例，证明如下：
∵∠C=∠BPF=60°，∠CBD=∠PBF，
∴△BDC∽△BFP．

（2）结论均成立，△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB．

（3）BD平分∠ABC时，△BPE的面积是△BPF的面积的2倍．
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBF=30°．
∵∠BPF=60°，
∴∠BFP=90°．
∴PF=

1

2

PB．
又∵∠BEP=∠PBE=30°，
∴PE=PB．
∴PF=

1

2

PE．
∴△BPE的面积是△BPF的面积的2倍．
解：（1）△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB．
以△BDC∽△BFP以为例，证明如下：
∵∠C=∠BPF=60°，∠CBD=∠PBF，
∴△BDC∽△BFP．

（2）结论均成立，△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB．

（3）BD平分∠ABC时，△BPE的面积是△BPF的面积的2倍．
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBF=30°．
∵∠BPF=60°，
∴∠BFP=90°．
∴PF=

1

2

PB．
又∵∠BEP=∠PBE=30°，
∴PE=PB．
∴PF=

1

2

PE．
∴△BPE的面积是△BPF的面积的2倍．