试题

（2009·常熟市模拟）如图，A、B两点的坐标分别为（4，0），（0，3），动点P从O点出发沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q从B点出发以每秒一个单位的速度向O点运动，点P、Q分别从O、B同时出发，当Q运动到原点O时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）设△POQ的面积为s，求s与t的函数关系式；
（2）当线段PQ与AB相交于点E，且

PE

QE

=

1

3

时，求∠QPO的正切值；
（3）当t为何值时，以O、P、Q为顶点的三角形与△ABO相似．

解：（1）∵OP=2t，BQ=t，
∴OQ=3-t，
∴S=

1

2

·2t（3-t）=t（3-t）（0≤t≤3）；

（2）如图所示：作QG∥AB，
∴

OQ

OB

=

OG

OA

，
∴

3-t

3

=

OG

4

，
∴OG=4-

4

3

t，
∵

PE

QE

=

1

3

，
∴

PA

AG

=

1

3

，
∴

2t-4

4-(4- 4t 3 )

=

1

3

，
∴t=

18

7

，
∴tan∠QPO=

OQ

OP

=

1

12

；

（3）∵∠AOB=∠POQ，
∴当

OQ

OB

=

OP

OA

或

OQ

OA

=

OP

OB

时，两三角形相似，即
∴

3-t

3

=

2t

4

或

3-t

4

=

2t

3

，
∴t=

6

5

或t=

9

11

，
∴当t=

6

5

或t=

9

11

时，以O、P、Q为顶点的三角形与△ABO相似．
解：（1）∵OP=2t，BQ=t，
∴OQ=3-t，
∴S=

1

2

·2t（3-t）=t（3-t）（0≤t≤3）；

（2）如图所示：作QG∥AB，
∴

OQ

OB

=

OG

OA

，
∴

3-t

3

=

OG

4

，
∴OG=4-

4

3

t，
∵

PE

QE

=

1

3

，
∴

PA

AG

=

1

3

，
∴

2t-4

4-(4- 4t 3 )

=

1

3

，
∴t=

18

7

，
∴tan∠QPO=

OQ

OP

=

1

12

；

（3）∵∠AOB=∠POQ，
∴当

OQ

OB

=

OP

OA

或

OQ

OA

=

OP

OB

时，两三角形相似，即
∴

3-t

3

=

2t

4

或

3-t

4

=

2t

3

，
∴t=

6

5

或t=

9

11

，
∴当t=

6

5

或t=

9

11

时，以O、P、Q为顶点的三角形与△ABO相似．