试题

（2009·花都区二模）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点，点P是BC边上一点．
（1）当BP=2时．求证：△BEP∽△CPD；
（2）若BP=5，过点P作射线PF，交CD所在的直线于点F，使得△BEP与△CPF相似．求此时CF的长度．

（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠C．（1分）
∵BE=2，BP=2，CP=4，CD=4，
∴

EB

CP

=

BP

CD

，（3分）
∴△BEP∽△CPD．（4分）

（2）解：由已知，BP=5，BE=2，CP=1，（5分）
由（1）∠B=∠C，
若要△BEP与△CPF相似，
则只需∠BPE=∠CPF或∠BPE=∠CFP即可．（7分）
①当∠BPE=∠CPF时（点F落在图中F₁处），△BPE∽△CPF
此时，

BE

CF

=

BP

CP

，可得CF=

2

5

（9分）
②当∠BPE=∠CFP时（点F落在图中F₂处），△BPE∽△CFP
此时，

BE

CP

=

BP

CF

，可得CF=

5

2

（11分）
∴当△BEP与△CPF相似时，CF的长度为

2

5

或

5

2

．（12分）
（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠C．（1分）
∵BE=2，BP=2，CP=4，CD=4，
∴

EB

CP

=

BP

CD

，（3分）
∴△BEP∽△CPD．（4分）

（2）解：由已知，BP=5，BE=2，CP=1，（5分）
由（1）∠B=∠C，
若要△BEP与△CPF相似，
则只需∠BPE=∠CPF或∠BPE=∠CFP即可．（7分）
①当∠BPE=∠CPF时（点F落在图中F₁处），△BPE∽△CPF
此时，

BE

CF

=

BP

CP

，可得CF=

2

5

（9分）
②当∠BPE=∠CFP时（点F落在图中F₂处），△BPE∽△CFP
此时，

BE

CP

=

BP

CF

，可得CF=

5

2

（11分）
∴当△BEP与△CPF相似时，CF的长度为

2

5

或

5

2

．（12分）