试题

题目：
（2010·大连一模）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P以1cm/s的速度从A出发沿边AB向点B移动，动点Q以2cm/s的速度同时从点B出发沿BC向点C移动．
（1）△PBQ的面积S（cm2）与点P移动时间t（s）的函数关系式为
S=-t2+6t
S=-t2+6t
，其中t青果学院的取值范围为
0＜t＜6
0＜t＜6
；
（2）判断△PBQ能否与△ABC相似，若能，求出此时点P移动的时间，若不能，说明理由；
（3）设M是AC的中点，连接MP、MQ，试探究点P移动的时间是多少时，△MPQ的面积为△ABC面积的
1
4
？
答案
S=-t2+6t

0＜t＜6

解：（1）S=-t2+6t，0＜t＜6；（2分）

（2）由题意知AP=t，BQ=2t．
①若△PBQ∽△ABC，则
BP
BA
=
BQ
BC
（3分）
∴
6-t
6
=
2t
12

解得t=3，（4分）
②若△PBQ∽△CBA，则
BP
BC
=
BQ
BA
（5分）
∴
6-t
12
=
2t
6

解得t=
6
5
．
即当点P移动3s或
6
5
s时，△PBQ与△ABC相似；（6分）

（3）作MD⊥AB于D，ME⊥BC于E．
∴∠ADM=90°，
又∠B=90°，
∴∠ADM=∠B，
∴DM∥BC，
∴
AD
DB
=
AM
MC
，
又∵M是AC的中点，青果学院
∴
AD
DM
=
AM
MC
=1，即D是AB的中点，（7分）
∴DM=
1
2
BC=6．
同理EM=
1
2
BA=3，（8分）
∵S△MPQ=
1
4
S△ABC，
∴S△APM+S△PBQ+S△MQC=
3
4
S△ABC，（9分）
∴
1
2
×t×6+
1
2
×(6-t)×2t+
1
2
×(12-2t)×3=
3
4
×
1
2
×6×12
即t2-6t+9=0．（10分）
t1=t2=3，
即点P移动3s时，S△MPQ=
1
4
S△ABC（1分）
考点梳理
相似三角形的判定；根据实际问题列二次函数关系式；三角形的面积．
（1）根据三角形面积公式，知△PBQ的面积S=
1
2
×BP×BQ．而BP=AB-AP=6-t，BQ=2t，代入即可求出S与t的函数关系式，由P点只能从A出发沿边AB向点B移动，可知t的取值范围；
（2）假设△PBQ能与△ABC相似，由于∠PBC=∠ABC=90°，则只能点B与点B对应，可分两种情况讨论：①点P与点A对应，即△PBQ∽△ABC；②点P与点C对应，即△PBQ∽△CBA．根据相似三角形的对应边成比例列出关于t的方程，从而求出t值；
（3）如果S△MPQ=
1
4
S△ABC，那么S△APM+S△PBQ+S△MQC=
3
4
S△ABC，又AP=t，BP=6-t，BQ=2t，CQ=12-2t，根据三角形的面积公式可知，只需求出△APM中AP边上的高及△MQC中CQ边上的高，即可根据等量关系列出方程，进而求出方程的解．为此，作MD⊥AB于D，ME⊥BC于E．根据中位线的判定及性质可求出DM、ME的值．
本题结合三角形面积公式考查了求二次函数的解析式，结合相似三角形的判定和性质考查了路程问题，以及组合图形面积的计算．
动点型；探究型．
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