试题

题目：
青果学院（2011·南昌模拟）如图，在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，问：能否在Ab边上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形？若能找到，这样的E点有几个？若不能找到，请说明理由．
答案
解：假设在AB边上存在点E，使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD，
又设AE=x，则
AD
AE
=
BE
BC
，即
a
x
=
b-x
a
，即得x2-bx+a2=0
∵△=b2-4a2=（b+2a）（b-2a），所以有
（1）若b+2a＞0，b-2a＜0，△＜0，方程无解，E点不存在；
（2）若b+2a＞0，当b=2a时，△=0，方程有等根，满足条件的E点有且只有一个；
（3）若b+2a＞0，b-2a＞0，则当b＞2a时，△＞0，方程有两个不相等的正根，满足条件的E点有两个，
青果学院
解：假设在AB边上存在点E，使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD，
又设AE=x，则
AD
AE
=
BE
BC
，即
a
x
=
b-x
a
，即得x2-bx+a2=0
∵△=b2-4a2=（b+2a）（b-2a），所以有
（1）若b+2a＞0，b-2a＜0，△＜0，方程无解，E点不存在；
（2）若b+2a＞0，当b=2a时，△=0，方程有等根，满足条件的E点有且只有一个；
（3）若b+2a＞0，b-2a＞0，则当b＞2a时，△＞0，方程有两个不相等的正根，满足条件的E点有两个，
青果学院
考点梳理
相似三角形的判定．
假设在AB边上存在点E，使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD，又设AE=x，则
AD
AE
=
BE
BC
，即
a
x
=
b-x
a
，于是将问题转化为关于x的一元二次方程是否有实根，在一定条件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题．
本题考查了一元二次方程的解的个数的判断，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，本题中判断△＞0，△＜0，△=0是解题的关键．
计算题；探究型．
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