试题

题目：
青果学院（2013·本溪）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有
3
3
个．
答案
3

青果学院解：设AP为x，
∵AB=10，
∴PB=10-x，
①AD和PB是对应边时，
∵△APD与△BPC相似，
∴
AD
PB
=
AP
BC
，
即
4
10-x
=
x
4
，
整理得，x2-10x+16=0，
解得x1=2，x2=8，
②AD和BC是对应边时，
∵△APD与△BPC相似，
∴
AD
BC
=
AP
PB
，
即
4
4
=
x
10-x
，
解得x=5，
所以，当AP=2、5、8时，△APD与△BPC相似，
满足条件的点P有3个．
故答案为：3．
考点梳理
相似三角形的判定．
设AP为x，表示出PB=10-x，然后分AD和PB是对应边，AD和BC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于要分情况讨论．
压轴题；分类讨论．
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