试题

在任意△ABC中，作CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，F为BC上的中点，连接DE，EF，DF．
（1）求证：DF=EF；
（2）直接写出除直角三角形以外的所有相似三角形；
（3）在（2）中的相似三角形中选择一对进行证明．

（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
而F为BC上的中点，
∴EF=

1

2

BC，DF=

1

2

BC，
∴DF=EF；

（2）解：△ADE∽△ACB；△PDE∽△PCB；△PDB∽△PEC；

（3）△ADE∽△ACB．理由如下：
证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，
而∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴

AB

AC

=

AE

AD

，
∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB．
（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
而F为BC上的中点，
∴EF=

1

2

BC，DF=

1

2

BC，
∴DF=EF；

（2）解：△ADE∽△ACB；△PDE∽△PCB；△PDB∽△PEC；

（3）△ADE∽△ACB．理由如下：
证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，
而∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴

AB

AC

=

AE

AD

，
∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB．