试题

题目:
如图,已知∠XOY=90°,正△PAB的顶点P与O点重合,顶点A是射线OX上的一个定点,另青果学院一顶点B在∠XOY的内部.
(1)当顶点P在射线OY上移动到点P1时,连接AP1,请用尺规作图∠XOY内部作出以AP1为边的正三角形(要求:保留作图痕迹,不写作法和证明);
(2)设AP1交OB于点C,AB的延长线交B1P1于点D.求证:△ABC∽△AP1D;
(3)连接BB1,求∠ABB1的度数.
答案
青果学院解:(1)如图.
图形正确(1分)痕迹正确(2分)

(2)证明:∵△PAB和△P1AB1都是正三角形,
∴∠ABC=∠AP1D=60°.(1分)
∵∠BAC=∠P1AD,
∴△ABC∽△AP1D.(2分)

(3)∵△O(P)AB和△P1AB1都是正三角形,
∴AO=AB,AP1=AB1,∠PAB=∠P1AB1=60°.
∴∠OAP1=∠BAB1=60°-∠CAB.
∴△OAP1≌△BAB1.(3分)
∴∠ABB1=∠AOP1=90°.(1分)
青果学院解:(1)如图.
图形正确(1分)痕迹正确(2分)

(2)证明:∵△PAB和△P1AB1都是正三角形,
∴∠ABC=∠AP1D=60°.(1分)
∵∠BAC=∠P1AD,
∴△ABC∽△AP1D.(2分)

(3)∵△O(P)AB和△P1AB1都是正三角形,
∴AO=AB,AP1=AB1,∠PAB=∠P1AB1=60°.
∴∠OAP1=∠BAB1=60°-∠CAB.
∴△OAP1≌△BAB1.(3分)
∴∠ABB1=∠AOP1=90°.(1分)
考点梳理
相似三角形的判定;全等三角形的判定.
(1)分别以A、P1为圆心,AP1长为半径画弧,两弧交于B1点,△AP1B1即为所求;
(2)欲证△ABC∽△AP1D,必须有两组角相等,∠BAC=∠P1AD为一个公共角,又因为△PAB和△P1AB1都是正三角形,所以有∠ABC=∠AP1D=60°所以△ABC∽△AP1D;
(3)有(1)(2)可知AO=AB,AP1=AB1,∠PAB=∠P1AB1=60°,所以有∠OAP1=∠BAB1=60°-∠CAB,因此根据边角边公式可证△OAP1≌△BAB1,因此可得∠ABB1=∠AOP1=90°
此题主要考查了相似的判定以及等边三角形的一些基本性质.
作图题;综合题.
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