试题

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB₁∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB₁于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．

解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

32+42

=5．
∵AD=5t，CE=3t，
∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；
∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6-5=1．

（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，
∴GE=2．
当AD＜AE（即t＜

3

2

）时，DE=AE-AD=3+3t-5t=3-2t，
若△DEG与△ACB相似，则

DE

EG

=

AC

BC

或

DE

EG

=

BC

AC

，
∴

3-2t

2

=

3

4

或

3-2t

2

=

4

3

，
∴t=

3

4

或t=

1

6

；
当AD＞AE（即t＞

3

2

）时，DE=AD-AE=5t-（3+3t）=2t-3，
若△DEG与△ACB相似，则

DE

EG

=

AC

BC

或

DE

EG

=

BC

AC

，
∴

2t-3

2

=

3

4

或

2t-3

2

=

4

3

，
解得t=

9

4

或t=

17

6

；
综上所述，当t=

3

4

或

1

6

或

9

4

或

17

6

时，△DEG与△ACB相似．
解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

32+42

=5．
∵AD=5t，CE=3t，
∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；
∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6-5=1．

（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，
∴GE=2．
当AD＜AE（即t＜

3

2

）时，DE=AE-AD=3+3t-5t=3-2t，
若△DEG与△ACB相似，则

DE

EG

=

AC

BC

或

DE

EG

=

BC

AC

，
∴

3-2t

2

=

3

4

或

3-2t

2

=

4

3

，
∴t=

3

4

或t=

1

6

；
当AD＞AE（即t＞

3

2

）时，DE=AD-AE=5t-（3+3t）=2t-3，
若△DEG与△ACB相似，则

DE

EG

=

AC

BC

或

DE

EG

=

BC

AC

，
∴

2t-3

2

=

3

4

或

2t-3

2

=

4

3

，
解得t=

9

4

或t=

17

6

；
综上所述，当t=

3

4

或

1

6

或

9

4

或

17

6

时，△DEG与△ACB相似．