试题

如图，AB是的⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D，且AB=8，DB=2．
（1）若∠CAD=36°，求∠BCD；
（2）试判断△ACD与△CBD是否相似；
（3）求图中阴影部分的面积．

解：（1）∵AB是的⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠B=90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠BCD=∠CAD=36°；

（2）△ABC∽△CBD，理由如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
在△ABC与△CBD中，
∠ACB=∠CDB=90°，∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBD；

（3）∵△ABC∽△CBD，
∴

CB

DB

=

AB

BC

，
∴CB²=DB·AB．
∵AB=8，DB=2，
∴CB=4，
在Rt△ABC中，AC=

AB2-BC2

=4

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC·AC=8

3

，
∴S_阴影部分=

1

2

π×42-S△ABC=8（π-

3

）．
解：（1）∵AB是的⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠B=90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠BCD=∠CAD=36°；

（2）△ABC∽△CBD，理由如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
在△ABC与△CBD中，
∠ACB=∠CDB=90°，∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBD；

（3）∵△ABC∽△CBD，
∴

CB

DB

=

AB

BC

，
∴CB²=DB·AB．
∵AB=8，DB=2，
∴CB=4，
在Rt△ABC中，AC=

AB2-BC2

=4

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC·AC=8

3

，
∴S_阴影部分=

1

2

π×42-S△ABC=8（π-

3

）．