试题

已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F（AB＞AE）．问：△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．

答：相似．
证明：延长FE和CD交于P，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=∠EDP=90°，
∵E为AD中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DPE中，

∠A=∠EDP AE=DE ∠AEF=∠PED

，
∴△AFE≌△DPE（ASA），
∴PE=EF，
∵EC⊥EF，
∴PC=FC，
∴∠PCE=∠FCE，
∵CE⊥EF，∠A=90°，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
即∠A=∠EDC，∠AFE=∠DEC，
∴△AFE∽△DEC，
∴∠AEF=∠DCE，
∵∠DCE=∠FCE，
∴∠AEF=∠ECF，
∵∠A=∠FEC=90°，
∴△AFE∽△EFC．
答：相似．
证明：延长FE和CD交于P，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=∠EDP=90°，
∵E为AD中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DPE中，

∠A=∠EDP AE=DE ∠AEF=∠PED

，
∴△AFE≌△DPE（ASA），
∴PE=EF，
∵EC⊥EF，
∴PC=FC，
∴∠PCE=∠FCE，
∵CE⊥EF，∠A=90°，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
即∠A=∠EDC，∠AFE=∠DEC，
∴△AFE∽△DEC，
∴∠AEF=∠DCE，
∵∠DCE=∠FCE，
∴∠AEF=∠ECF，
∵∠A=∠FEC=90°，
∴△AFE∽△EFC．